贪心算法——区间调度问题-算法程序设计

贪心算法——区间调度问题

问题主题：区间调度问题

问题描述：

有n项工作，每项工作分别在si开始，ti结束。对每项工作，你都可以选择参加或不参加，但选择了参加某项工作就必须至始至终参加全程参与，即参与工作的时间段不能有重叠(即使开始的时间和结束的时间重叠都不行)。

限制条件：

1<=n<=100000

1<=si<=ti,=109

样例：

输入

n=5

s={1,2,4,6,8}

T={3,5,7,9,10}

输出

3(选择工作1, 3, 5)

解题分析：

对这个问题，如果使用贪心算法的话，可能有以下几种考虑：

(1)、每次选取开始时间最早的；

(2)、每次选取结束时间最早的；

(3)、每次选取用时最短的；

(4)、在可选工作中，每次选取与最小可选工作有重叠的部分；

对于上面的四种算法，只有算法(2)是正确的，其它的三种都可以找到相应的反例。具体证明如下：

数轴上有n个区间，选出最多的区间，使得这些区间不互相重叠。

算法：

将所有区间按右端点坐标从小到大排序，顺序处理每个区间。如果它与当前已选的所有区间都没有重叠，则选择该区间，否则不选。

证明：

显然，该算法最后选出的区间不互相重叠，下面证明所选出区间的数量是最多的。设fi为该算法所接受的第i个区间的右端点坐标，gi为某最优解中的第i个区间的右端点坐标。

命题1.1 当i>=1时，该算法所接受的第i个区间的右端点坐标fi<=某最优解中的第i个区间的右端点坐标gi。****

该命题可以运用数学归纳法来证明。对于i=1，命题显然为真，因为算法第一个选择的区间拥有最小右端点坐标。令i>1，假定论断对i-1为真，即fi-1<=gi-1。则最优解的第i个可选区间所组成的集合包含于执行该算法时第i个可选区间所组成的集合；而当算法选择第i个区间时，选的是在可选区间中右端点坐标最小的一个，所以有fi<=gi。证毕。

设该算法选出了k个区间，而最优解选出了m个区间。

命题1.2 最优解选出的区间数量m=该算法选出的区间数量k。****

假设m>k，根据命题1.1，有fk<=gk。由于m>k，必然存在某区间，在gk之后开始，故也在fk之后开始。而该算法一定不会在选了第k个区间后停止，还会选择更多的区间，产生矛盾。所以m<=k,又因为m是最优解选出区间个数，所以m=k。

综上所述，算法选出的区间是最优解。

程序实现:

C++

#include <stdio.h>

#include <tchar.h>

#include <queue>

#include "iostream"

using namespace std;

const int N = 5;

int s[N]={1,2,4,6,8};

int t[N]={3,5,7,9,10};

int solve()

{

pair<int, int> itv[N];

for(int i = 0; i < N; i ++) {

itv[i].first = s[i];

itv[i].second = t[i];

}

sort(itv, itv + N);

int count = 0;

int t = 0;

for(int i = 0; i < N; i ++) {

if(t < itv[i].first) {

count ++;

t = itv[i].second;

}

return count;

}

int main() {

cout << solve() << endl;

return 0;

}

Java

package greed;

import java.util.Arrays;

/**

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User: shihuichao
Date: 14-1-14
Time: 下午10:43

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*/
public class Interval {
public static int interval(Work[] works) {

Arrays.sort(works);
int count = 0;
//当前工作的结束时间
int t = 0;
for (int i = 0; i &lt; works.length; i++) {
	if(t &lt; works[i].getStart()) {
		count ++;
		t = works[i].getTerminate();
	}
}
return count;

}

public static void main(String args[]) {

Work[] works = {
	new Work(1, 3),
	new Work(2, 5),
	new Work(4, 7),
	new Work(6, 9),
	new Work(8, 10)
};
int result = interval(works);
System.out.println(result);

}
}

class Work implements Comparable {

private int start;
private int terminate;

Work(int start, int terminate) {
	this.start = start;
	this.terminate = terminate;
}

int getStart() {
	return start;
}

void setStart(int start) {
	this.start = start;
}

int getTerminate() {
	return terminate;
}

void setTerminate(int terminate) {
	this.terminate = terminate;
}

@Override
public int compareTo(Object o) {
	Work work = (Work) o;
	if (this.terminate &gt; work.getTerminate())
		return 1;
	else if (this.terminate == work.getTerminate())
		return 0;
	else
		return -1;
}

}
<br/>

算法复杂度：

时间复杂度 On(nlogn) = 排序O(nlogn) + 扫描O(n)