合并K个有序数组

给定K个有序数组，每个数组有n个元素，想把这些数组合并成一个有序数组。

算法原理及实现

一. 最简单的方法是创建一个n*k大小的数组，然后把所有数字拷贝进去，然后再进行时间复杂度为O(nlogn)排序算法，这样总体时间复杂度为O(nklognk)

二. 可以利用最小堆完成，时间复杂度是O(nklogk)，具体过程如下：

1. 创建一个大小为n*k的数组保存最后的结果
2. 创建一个大小为k的最小堆，堆中元素为k个数组中的每个数组的第一个元素
3. 重复下列步骤n*k次：
   1. 每次从堆中取出最小元素（堆顶元素），并将其存入输出数组中
   2. 用堆顶元素所在数组的下一元素将堆顶元素替换掉，
   3. 如果数组中元素被取光了，将堆顶元素替换为无穷大。每次替换堆顶元素后，重新调整堆

下面给出相关算法的C++实现代码

#include<iostream>
#include<limits.h>
using namespace std;
 
#define n 4
 
// 定义最小堆节点
struct MinHeapNode
{
    int element; // 带排序元素
    int i; // 数组索引，element是从哪个数组取得
    int j; // 元素索引，下一个element的索引
};
 
// 定义一个最小节点之间的比较函数
void swap(MinHeapNode *x, MinHeapNode *y);

class MinHeap
{
    MinHeapNode *harr; // 定义一个指针，指向最小堆的堆顶元素
    int heap_size; // 堆的大小
public:
    // 构造函数（建堆）：构造一个指定大小的最小堆
    MinHeap(MinHeapNode a[], int size);
 
    // 调整堆：调整给定根结点的子树结构
    void MinHeapify(int );
 
    // 给定节点的左子节点
    int left(int i) { return (2*i + 1); }
 
    // 给定节点的右子节点
    int right(int i) { return (2*i + 2); }
 
    // 获取根节点值（堆顶元素）
    MinHeapNode getMin() { return harr[0]; }
 
    // 替换根节点（堆顶元素），重新调整堆
    void replaceMin(MinHeapNode x) { harr[0] = x;  MinHeapify(0); }
};

int *mergeKArrays(int arr[][n], int k)
{
    int *output = new int[n*k];  // 最后输出的数组，保存排序结果
 
    // 创建一个大小为k的最小堆，堆中元素为k个数组中的每个数组的第一个元素
    MinHeapNode *harr = new MinHeapNode[k];
    for (int i = 0; i < k; i++)
    {
        harr[i].element = arr[i][0]; // 每个数组的第一个元素（每个数组的最小元素）
        harr[i].i = i;  // 当前数组索引
        harr[i].j = 1;  // 该数组下一个元素的索引（判断元素是否用完）
    }
    MinHeap hp(harr, k); // 对上述大小为k的数组建堆
 
    // 逐次取出堆顶元素，存入输出数组中，并将其替换为所在数组的下一元素
    for (int count = 0; count < n*k; count++)
    {
        // 取堆顶，存结果
        MinHeapNode root = hp.getMin();
        output[count] = root.element;
 
        // 替换堆顶
        if (root.j < n)
        {
            root.element = arr[root.i][root.j];
            root.j += 1;
        }
        // 当前数组元素用完了，设堆顶为无穷大
        else root.element =  INT_MAX; //INT_MAX is for infinite
 
        // 如果还有元素，就替换堆顶元素，调整堆结构
        hp.replaceMin(root);
    }
 
    return output;
}
MinHeap::MinHeap(MinHeapNode a[], int size)
{
    heap_size = size;
    harr = a;  // store address of array
    int i = (heap_size - 1)/2;
    while (i >= 0)
    {
        MinHeapify(i);
        i--;
    }
}
 
// 递归的调整
// This method assumes that the subtrees are already heapified
void MinHeap::MinHeapify(int i)
{
    int l = left(i);
    int r = right(i);
    int smallest = i;
    if (l < heap_size && harr[l].element < harr[i].element)
        smallest = l;
    if (r < heap_size && harr[r].element < harr[smallest].element)
        smallest = r;
    if (smallest != i)
    {
        swap(&harr[i], &harr[smallest]);
        MinHeapify(smallest);
    }
}
void swap(MinHeapNode *x, MinHeapNode *y)
{
    MinHeapNode temp = *x;  *x = *y;  *y = temp;
}
 
// 输出排序结果
void printArray(int arr[], int size)
{
   for (int i=0; i < size; i++)
       cout << arr[i] << " ";
}
 

int main()
{

    int arr[][n] =  {{2, 6, 12, 34},
                     {1, 9, 20, 1000},
                     {23, 34, 90, 2000}};
    int k = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);
 
    int *output = mergeKArrays(arr, k);
 
    cout << "Merged array is " << endl;
    printArray(output, n*k);
 
    return 0;
}

算法时间复杂度理解

1. 建堆的时间复杂度

堆排序有两种建堆方式，一种是知道了n个元素，进行建堆排序，另一种是逐次添加一个元素，一个n个，进行建堆排序 （1）第一种就是普通的堆排序：建堆＋调整。

建堆是从最后一个非叶子节点开始，总共要遍历n/2个元素，每次调整需要的时间为O(logn),所以大致整体的运行时间复杂度为O(nlogn).但是如果更进一步分析，堆排序的实际情况会更理想一些，因为是从最后一个非叶子节点开始排序的，就算要调整，最多需要一次，不需要logn这么多次。
建堆过程实际是从完全二叉树最后一个非叶子节点开始，将其与子节点进行比较和交换。对于每个非叶子节点来说，最多进行2次比较和交换操作，因此整个建堆的时间复杂度为O(n)

（2）第二种是插入建堆：它的大致步骤如下：

a. 首先增加堆的长度，在最末尾的地方加入最新插入的元素

b. 比较当前元素和它的父结点值，如果比父结点值大，则交换两个元素，否则返回

c. 重复步骤b

最优情况就是n。

最坏的情况下，每次新增加一个元素都需要调整到它的根结点。而这个长度为logn。那么它的时间复杂度为O(nlogn)：

2. 排序的时间复杂度

完全二叉树的第i个节点到根节点的距离为  floor(logn) + 1,所以第i次取堆顶记录重建堆需要用O(logi)时间，且需要取n-1次堆顶元素，所以调整堆的时间复杂度为O(nlogn)
所以总体而言，堆排序的时间复杂度为O(nlogn)，因为堆排序对原始记录的排序状态不敏感，因此它的最好最坏和平均时间复杂度都是O(nlogn)。